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Read Online or Download Numerische Mathematik 2: Eine Einführung - unter Berücksichtigung von Vorlesungen von F.L.Bauer (Springer-Lehrbuch) (v. 2) (German Edition) PDF
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12 6 Eigenwertprobleme Beispiel: Die Jordan-Matrix ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ zero J 1 1 zero 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ besitzt die Eigenwerte λ1 = 1, λ2 = −1 mit den Vielfachheiten ρ(λ1 ) = 2, σ (λ1 ) = five, ρ(λ2 ) = three, σ (λ2 ) = four. Elementarteiler: (1 − µ)3 , (1 − µ)2 , (−1 − µ)2 , (−1 − µ), (−1 − µ). Charakteristisches Polynom: Minimalpolynom: ϕ(µ) = (−1)9 (µ − 1)5 (µ + 1)4 . ψ(µ) = (µ − 1)3 (µ + 1)2 . Zu λ1 = 1 geh¨oren die linear unabh¨angigen (Rechts-) Eigenvektoren e1 , e4 , zu λ2 = −1 die Eigenvektoren e6 , e8 , e9 . 6. three Die Frobeniussche Normalform einer Matrix Im letzten Abschnitt studierten wir die Matrizen Cν (λ), die sich als Bausteine der Jordanschen Normalform einer Matrix herausstellten. Die Frobeniussche Normalform, oder auch cause Normalform, einer Matrix ist analog aus Frobeniusmatrizen F der shape ⎡ ⎤ zero · · · · · · zero −γ0 . ⎢ ⎥ ⎢ 1 .. zero −γ1 ⎥ ⎢ ⎥ . .. .. .. ⎥, (6. three. 1) F =⎢ . .. . ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ . ⎣ ⎦ . . zero −γ m−2 zero 1 −γm−1 6. three Die Frobeniussche Normalform einer Matrix thirteen aufgebaut, mit deren Eigenschaften wir uns zun¨achst befassen wollen. guy st¨oßt auf Matrizen dieses Typs beim Studium von Krylovsequenzen von Vektoren: Unter einer Krylovsequenz f¨ur die n×n-Matrix A zum Startvektor t0 ∈ Cn versteht guy eine Sequenz von Vektoren ti ∈ Cn , i = zero, 1, . . . , m − 1, mit der folgenden Eigenschaft: (6. three. 2) a) ti = Ati−1 , i ≥ 1. b) t0 , t1 , . . . , tm−1 sind linear unabh¨angig. c) tm := Atm−1 h¨angt linear von t0 , t1 , . . . , tm−1 ab: Es gibt Konstanten γi mit tm + γm−1 tm−1 + · · · + γ0 t0 = zero. Die L¨ange m der Krylovsequenz h¨angt nat¨urlich von t0 ab. Es gilt m ≤ n, da mehr als n Vektoren im Cn stets linear abh¨angig sind. Bildet guy die n × m-Matrix T := [t0 , . . . , tm−1 ] und die Matrix F (6. three. 1), so ist (6. three. 2) a¨ quivalent mit (6. three. three) Rang T = m, AT = A[t0 , . . . , tm−1 ] = [t1 , . . . , tm ] = [t0 , . . . , tm−1 ]F = T F. Jeder Eigenwert von F ist auch Eigenwert von A: Aus F z = λz, z = zero, folgt n¨amlich f¨ur x := T z wegen (6. three. three) x = zero und Ax = AT z = T F z = λT z = λx. Dar¨uber hinaus gilt (6. three. four) Satz: Die Matrix F (6. three. 1) ist nichtderogatorisch: Das Minimalpolynom von F ist ψ(µ) = γ0 + γ1 µ + · · · + γm−1 µm−1 + µm = (−1)m det (F − µI ). Beweis: Entwickelt guy ϕ(µ) := det (F − µI ) nach der letzten Spalte, so findet guy als charakteristisches Polynom von F ⎡ ⎤ −µ zero −γ0 −γ1 ⎢ 1 −µ ⎥ ⎢ ⎥ . . . ⎢ ⎥ .. .. .. ϕ(µ) = det ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ 1 −µ −γm−2 zero 1 −γm−1 − µ = (−1)m (γ0 + γ1 µ + · · · + γm−1 µm−1 + µm ) . 14 6 Eigenwertprobleme Nach den Resultaten des letzten Abschnitts (6. 2. 12), (6. 2. 14) ist das Minimalpolynom ψ(µ) von F Teiler von ϕ(µ). W¨are Grad ψ < m = Grad ϕ, etwa ψ(µ) = α0 + α1 µ + · · · + αr −1 µr −1 + µr , r < m, so folgt aus ψ(F) = zero und Fei = ei+1 f¨ur 1 ≤ i ≤ m − 1 sofort der Widerspruch zero = ψ(F)e1 = α0 e1 + α1 e2 + · · · + αr −1 er + er +1 = [α0 , α1 , . . . , αr −1 , 1, zero, . . . , 0]T = zero. additionally ist Grad ψ = m und damit ψ(µ) = (−1)m ϕ(µ). Wegen (6. 2. 15) ist der Satz bewiesen. ⊔ ⊓ Nimmt guy an, daß das charakteristische Polynom von F die Nullstellen λi mit den Vielfachheiten σi , i = 1, .
